El producto de los primeros (n) enteros positivos se denota como (n!), Que se define como (n! = N \ times (n - 1) \ times (n -2) \ times \ cdots \ times1). En nuestro caso, estamos interesados en el producto de los primeros enteros positivos de 174386, es decir (174386!).
Comprensión de los factoriales
Los factorales son un concepto fundamental en matemáticas, especialmente en la teoría de combinatoria y probabilidad. Para valores pequeños de (n), calcular (n!) Es sencillo. Por ejemplo, (5! = 5 \ Times4 \ Times3 \ Times2 \ Times1 = 120). Sin embargo, a medida que (n) se hace más grande, el valor de (n!) Crece extremadamente rápidamente.
Para tener una idea de qué tan rápido crecen los factores, considere lo siguiente: el número de dígitos de (¡n!) Se puede aproximar utilizando la aproximación de Stirling. La fórmula de aproximación de Stirling es (n! \ Aprox \ sqrt {2 \ pi n} (\ frac {n} {e})^n), donde (e \ aprox2.71828) es la base del logaritmo natural.
Tomando el logaritmo común (base - 10) de ambos lados de la aproximación de Stirling, tenemos (\ log_ {10} (n!) \ Aprox \ frac {1} {2} \ log_ {10} (2 \ pi n)+n \ log_ {10} (\ frac {n} {e})).
Para (n = 174386), calculemos una aproximación del número de dígitos. Primero, (\ frac {1} {2} \ log_ {10} (2 \ pi \ times174386) \ aprox \ frac {1} {2} \ log_ {10} (2 \ times3.1415 9 \ Times174386) \ aprox \ frac {1} {2} \ log_ {10} (1.096 \ times10^{6}) \ aprox \ frac {1} {2} (6 + \ log_ {10} (1.096)) \ aprox3).
Y (n \ log_ {10} (\ frac {n} {e}) = 174386 \ times \ log_ {10} (\ frac {174386} {2.71828}) \ apropedo
Entonces, (\ log_ {10} (174386!) \ Aprox3 + 838770 = 838773). Esto significa que (174386!) Tiene aproximadamente 838773 dígitos.
Implicaciones y aplicaciones prácticas
En los escenarios reales del mundo, los factorales se utilizan en varios campos. En Combinatorics, (n!) Representa el número de formas de organizar (n) objetos distintos en una secuencia. Por ejemplo, si tiene (n) libros en un estante, hay (n!) Diferentes formas de pedirlos.
En la teoría de la probabilidad, los factorales se utilizan para calcular las permutaciones y combinaciones. Por ejemplo, el número de permutaciones de (r) objetos elegidos de (n) objetos distintos viene dado por (p (n, r) = \ frac {n!} {(N - r)!}).
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Referencias
- "Matemáticas de concreto: una base para la informática" de Ronald L. Graham, Donald E. Knuth y Oren Pursashnik.
- "Probabilidad y estadísticas para la ingeniería y las ciencias" de Jay L. Devore.
